EBOB ve OBEB Aynı mı? Aslında Cevap Sandığımızdan Daha Basit
Bu konuyu ilk kez fark ettiğimde açıkçası benim de aklıma şu soru gelmişti: “EBOB başka, OBEB başka bir şey mi, yoksa yıllardır aynı matematiksel kavram için iki farklı isim mi kullanıyoruz?” Özellikle eski ders kitaplarında OBEB, yeni kaynaklarda ise EBOB ifadesini görünce insan ister istemez arada bir fark olduğunu düşünebiliyor.
Forumlarda da bu konu zaman zaman ilginç tartışmalara dönüşüyor. Bir kesim “Ben okulda OBEB öğrendim, EBOB yeni çıktı” derken başka biri “Bunlar zaten aynı şey” diyor. İşin güzel tarafı, burada tartışmayı çözecek şey kişisel hatıralar değil, doğrudan matematiksel tanım.
Kısa cevabı en baştan vereyim: EBOB ve OBEB aynı matematiksel kavramdır. Fark, hesaplama yönteminde değil, kavramın adlandırılma biçimindedir. Ancak bunun neden böyle olduğunu, hangi kullanımın daha yaygın olduğunu ve neden bazı kişilerin iki terimi farklı kavramlar sanabildiğini biraz açmak gerekiyor.
Peki siz okulda hangisini öğrendiniz: EBOB mu, OBEB mi? Ve sizce terim değişikliği öğrencilerin kafasını gerçekten karıştırıyor mu?
EBOB ve OBEB'in Açılımı Nedir?
EBOB, “En Büyük Ortak Bölen” ifadesinin kısaltmasıdır.
OBEB ise “Ortak Bölenlerin En Büyüğü” ifadesinin kısaltmasıdır.
Buradaki kelime sıralamasına dikkat edersek fark hemen ortaya çıkıyor. EBOB'da “en büyük” ifadesi başa alınırken OBEB'de “ortak bölenlerin” ifadesi önce geliyor. Fakat iki tanım da aynı matematiksel nesneyi tarif ediyor: Verilen sayıların tamamını kalansız bölen ortak sayılar arasındaki en büyük pozitif sayı.
Millî Eğitim Bakanlığı'nın matematik materyallerinde EBOB, “En Büyük Ortak Bölen” olarak tanımlanıyor. Örneğin iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak bölenleri arasındaki en büyük değer EBOB olarak ifade ediliyor. OGM Materyal+1
Dolayısıyla:
EBOB = OBEB
Bu eşitlik yalnızca bazı özel sayılar için değil, tanım gereği bütün uygun sayı kümeleri için geçerlidir.
Basit Bir Örnekle Aradaki Farkı Tamamen Ortadan Kaldıralım
Örneğin 24 ve 36 sayılarını ele alalım.
24'ün pozitif bölenleri:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36'nın pozitif bölenleri:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Ortak bölenler:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Bunların en büyüğü 12 olduğuna göre:
EBOB(24, 36) = 12
Aynı işlem için OBEB dediğimizde de:
OBEB(24, 36) = 12
sonucunu elde ederiz.
Burada önemli nokta şu: İki farklı işlem yapmıyoruz. Birinde farklı bir algoritma, diğerinde farklı bir sonuç ortaya çıkmıyor. Aynı matematiksel kavramı iki farklı kısaltmayla ifade ediyoruz.
Bu nedenle bir sınav sorusunda “24 ile 36'nın OBEB'i” sorulmasıyla “24 ile 36'nın EBOB'u” sorulması arasında matematiksel açıdan hiçbir fark yoktur.
Peki Neden İki Farklı İsim Kullanılmış?
Bence kafa karışıklığının asıl kaynağı burada.
Matematikte bir kavramın farklı dönemlerde veya farklı eğitim kaynaklarında farklı adlandırılması öğrencinin zihninde doğal olarak “Acaba bunlar farklı şeyler mi?” sorusunu oluşturabiliyor.
“En Büyük Ortak Bölen” ifadesinin baş harflerinden EBOB ortaya çıkıyor.
“Ortak Bölenlerin En Büyüğü” ifadesinin baş harflerinden ise OBEB oluşuyor.
Her iki ifade de aynı ilişkiyi anlatıyor.
Bu durum matematiğin kendisinin değiştiği anlamına gelmiyor. Daha çok terminolojik bir tercih söz konusu. Günümüzde Türkiye'deki okul matematiği materyallerinde EBOB kullanımıyla karşılaşmak oldukça yaygın. MEB'in güncel eğitim materyallerinde de “En Büyük Ortak Bölen (EBOB)” ifadesi kullanılıyor. OGM Materyal+1
Dolayısıyla eski bir kitapta OBEB, yeni bir kaynakta EBOB görmek tek başına bir çelişki değildir.
EBOB ile EKOK'u Karıştırmamak Daha Önemli
Bence öğrencilerin EBOB ile OBEB arasındaki isim farkından çok daha fazla dikkat etmesi gereken konu, EBOB ile EKOK'un birbirinden ayrılması.
Çünkü burada gerçekten iki farklı matematiksel kavram vardır.
EBOB: Ortak bölenlerin en büyüğü.
EKOK: Ortak katların en küçüğü.
Örneğin 12 ve 18 için:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
EBOB hesaplanırken ortak asal çarpanların küçük üsleri alınır:
2 × 3 = 6
Dolayısıyla:
EBOB(12,18) = 6
EKOK hesaplanırken ise asal çarpanların büyük üsleri alınır:
2² × 3² = 36
Dolayısıyla:
EKOK(12,18) = 36
İşte gerçek matematiksel ayrım burada.
EBOB ile OBEB arasında kavramsal fark yokken, EBOB ile EKOK arasında doğrudan matematiksel fark vardır.
Asal Çarpanlara Ayırma Konusunda EBOB ve OBEB Yine Aynı Sonucu Veriyor
Bir başka örnek üzerinden bakalım.
60 = 2² × 3 × 5
84 = 2² × 3 × 7
Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
2'nin her iki sayıdaki en küçük üssü 2, 3'ün en küçük üssü ise 1'dir.
Bu nedenle:
EBOB(60,84) = 2² × 3 = 12
Buna OBEB dersek:
OBEB(60,84) = 12
Yani yöntemi değiştirdiğimizde sonuç değişmiyor.
Hatta Öklid algoritmasıyla hesaplasak da sonuç yine aynı olur. Örneğin:
84 = 60 × 1 + 24
60 = 24 × 2 + 12
24 = 12 × 2 + 0
Son sıfır olmayan kalan 12 olduğundan en büyük ortak bölen 12'dir.
Burada “EBOB algoritması” ile “OBEB algoritması” diye iki ayrı matematiksel sistem olduğunu düşünmek yanlış olur. Aynı algoritmayla aynı değer bulunur.
“Erkekler Daha Objektif, Kadınlar Daha Duygusal Bakar” Demek Ne Kadar Doğru?
Konuya biraz farklı bir açıdan yaklaşmak istiyorum; çünkü forum tartışmalarında matematik soruları bile bazen “erkekler matematiğe daha mantıksal bakar, kadınlar daha sezgiseldir” gibi genellemelere bağlanabiliyor.
Burada dikkatli olmak gerekiyor.
Bir erkeğin EBOB sorusuna “formülü çıkaralım, algoritmayı uygulayalım” şeklinde yaklaşması mümkün. Başka bir erkek ise okul deneyimleri nedeniyle matematikten hoşlanmıyor olabilir ve soruyu çözerken ciddi kaygı yaşayabilir.
Aynı şekilde bir kadın öğrencinin EBOB sorusunu tamamen veri ve algoritma üzerinden çözmesi mümkünken başka bir kadın öğrenci için öğretmenin yaklaşımı, sınıf ortamı, sınav baskısı veya geçmişte aldığı geri bildirimler matematik deneyiminin önemli bir parçası olabilir.
Dolayısıyla “erkekler objektif, kadınlar duygusal” şeklindeki kesin bir ayrım bilimsel açıdan savunulabilir bir açıklama değil.
Psikolog Janet Shibley Hyde'ın 46 meta-analizi inceleyen çalışması, kadınlar ve erkekler arasında psikolojik özelliklerin büyük bölümünde benzerliklerin baskın olduğunu savunan “gender similarities hypothesis” yaklaşımını ortaya koyuyor. Çalışmada farklılıkların yaşa ve bağlama göre değişebildiği de vurgulanıyor. PubMed+1
Bu konuyu ilk kez fark ettiğimde açıkçası benim de aklıma şu soru gelmişti: “EBOB başka, OBEB başka bir şey mi, yoksa yıllardır aynı matematiksel kavram için iki farklı isim mi kullanıyoruz?” Özellikle eski ders kitaplarında OBEB, yeni kaynaklarda ise EBOB ifadesini görünce insan ister istemez arada bir fark olduğunu düşünebiliyor.
Forumlarda da bu konu zaman zaman ilginç tartışmalara dönüşüyor. Bir kesim “Ben okulda OBEB öğrendim, EBOB yeni çıktı” derken başka biri “Bunlar zaten aynı şey” diyor. İşin güzel tarafı, burada tartışmayı çözecek şey kişisel hatıralar değil, doğrudan matematiksel tanım.
Kısa cevabı en baştan vereyim: EBOB ve OBEB aynı matematiksel kavramdır. Fark, hesaplama yönteminde değil, kavramın adlandırılma biçimindedir. Ancak bunun neden böyle olduğunu, hangi kullanımın daha yaygın olduğunu ve neden bazı kişilerin iki terimi farklı kavramlar sanabildiğini biraz açmak gerekiyor.
Peki siz okulda hangisini öğrendiniz: EBOB mu, OBEB mi? Ve sizce terim değişikliği öğrencilerin kafasını gerçekten karıştırıyor mu?
EBOB ve OBEB'in Açılımı Nedir?
EBOB, “En Büyük Ortak Bölen” ifadesinin kısaltmasıdır.
OBEB ise “Ortak Bölenlerin En Büyüğü” ifadesinin kısaltmasıdır.
Buradaki kelime sıralamasına dikkat edersek fark hemen ortaya çıkıyor. EBOB'da “en büyük” ifadesi başa alınırken OBEB'de “ortak bölenlerin” ifadesi önce geliyor. Fakat iki tanım da aynı matematiksel nesneyi tarif ediyor: Verilen sayıların tamamını kalansız bölen ortak sayılar arasındaki en büyük pozitif sayı.
Millî Eğitim Bakanlığı'nın matematik materyallerinde EBOB, “En Büyük Ortak Bölen” olarak tanımlanıyor. Örneğin iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak bölenleri arasındaki en büyük değer EBOB olarak ifade ediliyor. OGM Materyal+1
Dolayısıyla:
EBOB = OBEB
Bu eşitlik yalnızca bazı özel sayılar için değil, tanım gereği bütün uygun sayı kümeleri için geçerlidir.
Basit Bir Örnekle Aradaki Farkı Tamamen Ortadan Kaldıralım
Örneğin 24 ve 36 sayılarını ele alalım.
24'ün pozitif bölenleri:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36'nın pozitif bölenleri:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Ortak bölenler:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Bunların en büyüğü 12 olduğuna göre:
EBOB(24, 36) = 12
Aynı işlem için OBEB dediğimizde de:
OBEB(24, 36) = 12
sonucunu elde ederiz.
Burada önemli nokta şu: İki farklı işlem yapmıyoruz. Birinde farklı bir algoritma, diğerinde farklı bir sonuç ortaya çıkmıyor. Aynı matematiksel kavramı iki farklı kısaltmayla ifade ediyoruz.
Bu nedenle bir sınav sorusunda “24 ile 36'nın OBEB'i” sorulmasıyla “24 ile 36'nın EBOB'u” sorulması arasında matematiksel açıdan hiçbir fark yoktur.
Peki Neden İki Farklı İsim Kullanılmış?
Bence kafa karışıklığının asıl kaynağı burada.
Matematikte bir kavramın farklı dönemlerde veya farklı eğitim kaynaklarında farklı adlandırılması öğrencinin zihninde doğal olarak “Acaba bunlar farklı şeyler mi?” sorusunu oluşturabiliyor.
“En Büyük Ortak Bölen” ifadesinin baş harflerinden EBOB ortaya çıkıyor.
“Ortak Bölenlerin En Büyüğü” ifadesinin baş harflerinden ise OBEB oluşuyor.
Her iki ifade de aynı ilişkiyi anlatıyor.
Bu durum matematiğin kendisinin değiştiği anlamına gelmiyor. Daha çok terminolojik bir tercih söz konusu. Günümüzde Türkiye'deki okul matematiği materyallerinde EBOB kullanımıyla karşılaşmak oldukça yaygın. MEB'in güncel eğitim materyallerinde de “En Büyük Ortak Bölen (EBOB)” ifadesi kullanılıyor. OGM Materyal+1
Dolayısıyla eski bir kitapta OBEB, yeni bir kaynakta EBOB görmek tek başına bir çelişki değildir.
EBOB ile EKOK'u Karıştırmamak Daha Önemli
Bence öğrencilerin EBOB ile OBEB arasındaki isim farkından çok daha fazla dikkat etmesi gereken konu, EBOB ile EKOK'un birbirinden ayrılması.
Çünkü burada gerçekten iki farklı matematiksel kavram vardır.
EBOB: Ortak bölenlerin en büyüğü.
EKOK: Ortak katların en küçüğü.
Örneğin 12 ve 18 için:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
EBOB hesaplanırken ortak asal çarpanların küçük üsleri alınır:
2 × 3 = 6
Dolayısıyla:
EBOB(12,18) = 6
EKOK hesaplanırken ise asal çarpanların büyük üsleri alınır:
2² × 3² = 36
Dolayısıyla:
EKOK(12,18) = 36
İşte gerçek matematiksel ayrım burada.
EBOB ile OBEB arasında kavramsal fark yokken, EBOB ile EKOK arasında doğrudan matematiksel fark vardır.
Asal Çarpanlara Ayırma Konusunda EBOB ve OBEB Yine Aynı Sonucu Veriyor
Bir başka örnek üzerinden bakalım.
60 = 2² × 3 × 5
84 = 2² × 3 × 7
Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
2'nin her iki sayıdaki en küçük üssü 2, 3'ün en küçük üssü ise 1'dir.
Bu nedenle:
EBOB(60,84) = 2² × 3 = 12
Buna OBEB dersek:
OBEB(60,84) = 12
Yani yöntemi değiştirdiğimizde sonuç değişmiyor.
Hatta Öklid algoritmasıyla hesaplasak da sonuç yine aynı olur. Örneğin:
84 = 60 × 1 + 24
60 = 24 × 2 + 12
24 = 12 × 2 + 0
Son sıfır olmayan kalan 12 olduğundan en büyük ortak bölen 12'dir.
Burada “EBOB algoritması” ile “OBEB algoritması” diye iki ayrı matematiksel sistem olduğunu düşünmek yanlış olur. Aynı algoritmayla aynı değer bulunur.
“Erkekler Daha Objektif, Kadınlar Daha Duygusal Bakar” Demek Ne Kadar Doğru?
Konuya biraz farklı bir açıdan yaklaşmak istiyorum; çünkü forum tartışmalarında matematik soruları bile bazen “erkekler matematiğe daha mantıksal bakar, kadınlar daha sezgiseldir” gibi genellemelere bağlanabiliyor.
Burada dikkatli olmak gerekiyor.
Bir erkeğin EBOB sorusuna “formülü çıkaralım, algoritmayı uygulayalım” şeklinde yaklaşması mümkün. Başka bir erkek ise okul deneyimleri nedeniyle matematikten hoşlanmıyor olabilir ve soruyu çözerken ciddi kaygı yaşayabilir.
Aynı şekilde bir kadın öğrencinin EBOB sorusunu tamamen veri ve algoritma üzerinden çözmesi mümkünken başka bir kadın öğrenci için öğretmenin yaklaşımı, sınıf ortamı, sınav baskısı veya geçmişte aldığı geri bildirimler matematik deneyiminin önemli bir parçası olabilir.
Dolayısıyla “erkekler objektif, kadınlar duygusal” şeklindeki kesin bir ayrım bilimsel açıdan savunulabilir bir açıklama değil.
Psikolog Janet Shibley Hyde'ın 46 meta-analizi inceleyen çalışması, kadınlar ve erkekler arasında psikolojik özelliklerin büyük bölümünde benzerliklerin baskın olduğunu savunan “gender similarities hypothesis” yaklaşımını ortaya koyuyor. Çalışmada farklılıkların yaşa ve bağlama göre değişebildiği de vurgulanıyor. PubMed+1